最適な非依存性の実証

npj 量子情報第 8 巻、記事番号: 84 (2022) この記事を引用

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量子状態識別は量子測定理論の中心的な問題であり、その応用は量子通信から計算にまで及びます。 状態識別の典型的な測定パラダイムには、決定的でない結果が生じる確率を最小限に抑えた、エラーまたは明確な識別の確率が最小限に抑えられます。 あるいは、最適な決定的でない測定、つまり非射影的測定は、特定の不決定の確率に対して最小限の誤差を達成します。 このより一般的な測定には、状態識別のための標準測定パラダイムが含まれており、量子情報と通信のためのより強力なツールが提供されます。 ここでは、線形光学と単一光子検出を使用して、バイナリ コヒーレント状態を識別するための最適かつ決定的ではない測定を実験的に示します。 私たちのデモンストレーションでは、干渉、単一光子検出、および高速フィードバックに基づくコヒーレント変位操作を使用して、忠実度の高い最適な非射影量子測定のための最適なフィードバック ポリシーを準備します。 この一般化された測定により、最小誤差からバイナリ コヒーレント状態の明確な測定まで、最適な方法で標準測定パラダイム間を移行することができます。 特別なケースとして、この一般的な測定を使用して、位相コヒーレント状態の最適な最小誤差測定を実装します。これは、平均電力制約の下での通信に最適な変調です。 さらに、コヒーレント状態の高次元の不確定な測定を実現するために、逐次的で明確な状態の除去と組み合わせてバイナリ最適の不確定な測定を活用するハイブリッド測定を提案します。

量子測定理論は、量子状態を区別するために達成可能な感度の限界についての基本的な理解を提供します1、2、3。 非直交コヒーレント状態を識別するための究極の感度限界に達する、またはそれに近づく物理的に実現可能な戦略は、光通信 4,5,6,7,8,9、暗号化 10,11,12,13,14,15 において幅広い用途があります。 、16、17、および量子情報処理18、19、20。 量子測定理論と量子情報処理における中心的な問題は、2 つの量子状態 \(\left|{\psi }_{1}\right\rangle\) と \(\left|{\psi }_{2) の区別です。 }\right\rangle\) は、特定のアプリケーションに応じて、最適性基準が与えられた特定の最適な測定値を使用します2,21,22。

量子状態識別のための 2 つの基本的な測定パラダイムには、最小誤差または明確な状態識別が含まれます。 最小エラー状態識別 (MESD) は、最小のエラー確率 PE23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34 を達成することを目的としています。 Helstrom 境界 24 は、量子状態の複雑な重ね合わせに対する射影測定によって達成される PE の究極の制限を与えます。 特に、バイナリコヒーレント状態の最適な MESD 測定は、線形光学、単一光子検出、高速フィードバックによって実現できます 35,36。 対照的に、明確な状態識別 (USD) では、PE = 0 での完全な識別が可能ですが、決定的な結果が得られない確率 (PI ≠ 0) がゼロではないことが必要です。このような非射影測定は、正の演算子値測定 (POVM) によって記述されます。 3 つの要素 2、37、38 を使用し、可能な限り最小の PI39、40、41、42、43、44、45、46、47 を達成することを目指しています。 バイナリ コヒーレント状態の最適な USD の実現にはフィードバック 12、48、49 が必要ないため、最適な MESD と比較して実装が簡単になります 45、50。

特定のバイナリ識別タスクには最適な射影測定が存在します 2,24,51,52 が、量子測定理論では、射影ではないより広範な種類の一般化された量子測定が可能です。 これらの一般化された測定は、量子情報処理と通信のためのより強力なツールを提供します2。 これらの一般的な量子測定の中で、決定的でない最適な測定では、決定的でない結果の固定確率に対して可能な限り最小のエラー確率が達成されます 37,53。 この測定は非射影測定であるため、MESD および USD 測定パラダイムを包含する非射影 POVM によって記述されます。 さらに、非射影量子測定により、量子状態除去 54、状態比較 55、56、57、固定誤差マージンでの識別 58 など、よりエキゾチックな識別タスクが可能になります。 さらに、バイナリ状態に対する最適で決定的でない測定値を理解することで、2 次元ヒルベルト空間で任意の非射影 POVM を実現するための道が提供される可能性があります 59,60。

量子測定理論に関する理論的研究は、局所操作と古典的通信に基づいて、広範なクラスの量子状態に対する最適かつ決定的ではない測定を実現できることを示しています58、61、62。 ただし、光コヒーレント状態の識別に対応する測定演算子は、必ずしも実現可能な物理的実現を持っているわけではありません。 コヒーレント状態の次善的な不確定な測定は、線形光学と単一光子検出63に基づいて実現できますが、その性能は最適な不確定な測定の性能には及ばません。 ref での最近の作業。 64 は、バイナリ コヒーレント状態の最適かつ決定的ではない測定のための戦略の物理的実現を提案しました。 このような非投影測定は、任意の 2 値投影測定を実装するために必要な物理要素と同じである、変位操作、単一光子検出、およびフィードバック 64 を使用して実現できることが示されました 52,65。

この研究では、二値コヒーレント状態の最適かつ決定的ではない測定を実験的に実証します64。 測定では、入力状態のエネルギーが 2 つの時間モードに分割されます。 最初のモードでは MESD 測定を実行し、一定の誤差の確率で決定的な結果を提供し、2 番目のモードでは単一状態ドメインで最適な決定的でない測定を実行して、測定結果が決定的かどうかを決定します。 私たちのデモでは、単一光子検出を条件とした低ノイズ、高帯域幅のリアルタイム フィードバックを使用して、最適な不確定な測定に必要な最適な変位操作を準備します。 さらに、この一般化された最適測定を使用して、位相コヒーレント状態の最適なMESD、つまり平均電力制約下での光通信の最適な変調を実現し、コヒーレント光通信に最適な量子受信機を実証します。 最後に、仮説検定に基づく明確な状態除去の測定と組み合わせて使用​​すると、バイナリの最適で決定的でない測定により、3 つのコヒーレント状態の決定的でない識別が実現できることを示します。 この提案された方法は、原則として、コヒーレント状態の高次元の不確定な測定戦略に拡張できます。

最適な決定的でない測定は、MESD および USD パラダイムを包含し、誤差と決定的でない結果の間のトレードオフを最適化する非射影量子測定です 37,53。 構造上、最適な決定的でない測定は、指定された決定的でない確率 PI2,64 に対する最小誤差確率 PE を達成します。 決定的ではない最適な測定のための POVM の実現可能な実現 \(\{{\hat{{{\Pi }}}}_{1},{\hat{{{\Pi }}}}_{2},{バイナリコヒーレント状態の \hat{{{\Pi }}}}_{?}\}\) は、最近参考文献で提案されました。 64. 特に、この最適な非射影測定は、原理的には Dolinar 受信機と呼ばれる MESD 用の最適な受信機の一般化によって実現できます。 この最適な MESD 受信機は、局部発振器 (LO) 場による入力状態の干渉、単一光子検出、および最適なフィードバック ポリシーによるフィードバックによって実装される位相空間での変位操作に基づいています。 変位は、最適な波形によって与えられる大きさと、光子検出に条件付けされた位相を持ちます 35、36、66。

図 1a は、決定的ではない最適な測定の概念を示しています。 入力状態 \(\left|\!\pm\! \alpha \right\rangle\) と強い LO 場が高透過率ビーム スプリッターで干渉し、変位演算 \(\hat{D}(u(t) )\)。 受信機は、測定時間中の単一光子検出器 (SPD) からの光子検出結果に基づいて LO の位相が 0 と π の間で切り替わる最適な変位波形 u(t) を実装します。 最適な決定的でない識別戦略の提案 64 では、一般化受信機は、変位演算、単一光子検出、およびフィードバックを使用して、測定時間 0 ≤ t ≤ 1 中に 2 つの時間モードで最適な測定を実行します。 最初の時間モード (0 ≤ t ≤ t1) では、受信機は次の式を使用して \(\{\left|\!\pm\! \alpha \right\rangle \}\) を識別する最適な MESD 測定を実行します。最適変位波形35,36,64,66。 2 番目の時間モード (t1 < t ≤ 1) では、受信機は、いわゆる単一状態ドメインで決定的でない最適な測定を実行します。この測定は、最も可能性の低い状態の POVM 要素がゼロになる射影測定になります。例: \({\hat{{{\Pi }}}}_{2}=0\)58,64。 一般性を失うことなく、最初のモード後の最も可能性の高い状態は \(\left|\alpha \right\rangle\) であり、ゼロ以外の POVM 要素は \({\hat{{{\Pi }}}} _{1}\) と \({\hat{{{\Pi }}}}_{?}\)。 したがって、第２の時間モードの受信機は、測定結果が決定的ではないかどうかの判定を試みる。すなわち、受信機は、正しい結果と決定的でない結果との間のＭＥＳＤ測定を実現する。 参考文献 64 は、第 2 時間モード (単一状態ドメイン) でのこの射影測定が、異なる最適変位波形を備えたドリナー型受信機によって実現できることを示しています。これは、最適で決定的な測定を実証するために活用する重要な要素です。 決定的ではない最適な測定を実現する総変位波形 u(t) は次の式で与えられます 64:

ここで、N1(t) と N2(t) はそれぞれ、第 1 時間モードと第 2 時間モードで時間 t までに検出された光子の総数であり、N0 ∈ {0, 1} は ∣α∣2、PI、および p64 に基づきます。 。 全体の最適波形 u(t) は u1(t) と u2(t) で構成され、それぞれが 2 つの時間モードに最適です (詳細については「方法」セクションを参照)。 u(t) の大きさは ∣α∣2、PI、p の値に基づいて事前に決定されますが、u(t) の符号 (LO の位相) は正と負の間で適応的に切り替わります (LO 位相は 0 とπ) \({(-1)}^{{N}_{1}(t)}\) および \({(-1)}^{{N}_{2}( t)+{N}_{0}}\) の用語。

決定的でない最適な測定のための一般化された受信機の概略図。 入力状態は、LO フィールドの最適波形 u(t) を使用して位相空間内で変位され、その後に単一光子検出器 (SPD) とフィードバック操作が続きます。 b 異なる平均光子数 |α|2 に対する最適な波形の大きさ ∣u(t)∣ (上のパネル)。 下のパネルは、LO 位相が光子検出ごとに 0 と π の間で切り替わる、特定の測定レコードの波形 u(t) の例を示しています (光子検出、中央のパネル)。 X 軸に沿った円は、測定の進行に伴う入力状態の現在の仮説を示します。 c ∣α∣2 = 0.2、0.4、および 0.6 の決定的でない結果の指定された確率 PI の関数としての、最適な決定的でない測定の誤差確率 PE。 Y 軸に沿った色付きの円 (PI = 0) は、MESD のパラダイムで可能な最小の PE に対応し、X 軸に沿った色付きの四角形 (PE = 0) は、USD のパラダイムで可能な最小の PI に対応します。 。 d バイナリコヒーレント状態の最適で決定的でない測定を実証するために使用される実験設定。

図 1b の上のパネルは、∣α∣2 = 0.2、0.4、および 0.6 に対して決定的でない確率 PI = 0.19 を持つ最適な決定的でない戦略の変位の大きさ ∣u(t)∣ を示しています。 各 ∣α∣2 の ∣u(t)∣ における離散ジャンプは、受信機が 2 つの時間モードの測定を切り替えるときの時間 t1 に対応します。 受信機は、\(\left|\!\pm\! \alpha \right\rangle\) 間の u1(t) を使用して、0 ≤ t ≤ t1 の間、ドリナー受信機による最小誤差測定を実装します。 次に、受信機は単一状態ドメイン \(\{{\hat{{{\Pi }}}}_{1},{\hat{{{\Pi }}}}_{? }\}\)、u2(t) で t1 < t ≤ 1 の間、ドリナーのような受信機を使用します。 測定の最終結果は、確率 PI で決定的でない結果、確率 PC で正しい識別結果、または確率 PE = 1 − PC − PI64 でエラーとなります。 図 1b の下のパネルは、測定記録例の変位振幅 u(t) を示しています。 仮の仮説（丸）と波形の位相は、光子が検出されるたびに変化します。 赤い破線 (t1 ≈ 0.70) は、受信機が最初の時間モードでの 2 つの入力状態の MESD から、現在の検出記録を考慮したより可能性の高い状態と 2 番目の時間モードでの不確定な結果の間の MESD に切り替わる場所を示しています。

図 1c は、∣α∣2 = 0.2 の等確率のコヒーレント状態 \(\{\left|\!\pm\! \alpha \right\rangle \}\) に対する最適で決定的でない測定の結果として得られる確率 {PI, PE} を示しています。 、0.4、0.6 はそれぞれ青、オレンジ、黄色です。 Y 軸に沿った色付きの円 (PI = 0) は、MESD (Helstrom Bound) のパラダイムにおける可能な最小の PE に対応し、X 軸に沿った色付きの四角形 (PE = 0) は、MESD (Helstrom Bound) のパラダイムにおける可能な最小の PI に対応します。 USD のパラダイム (IDP バウンドと呼ばれることもあります 39、40、41)。 したがって、決定的でない最適な測定は MESD と USD を一般化したものであり、より一般的な非射影測定を使用して最適な方法でこれらの測定パラダイム間を補間します。 一般に、2 つの一般的な量子状態を区別するための決定的ではない最適な測定値 \(\{\left|{\psi }_{1}\right\rangle ,\left|{\psi }_{2}\right\rangle \}\) は 3 つの POVM 要素 \(\{{\hat{{{\Pi }}}}_{1},{\hat{{{\Pi }}}}_{2},{\ hat{{{\Pi }}}}_{?}\}\) ここで、\(\{{\hat{{{\Pi }}}}_{1,2}\}\) の肯定的な結果は、状態 \(\left|{\psi }_{1,2}\right\rangle\) が存在し、 \({\hat{{{\Pi }}}}_{?}=\hat{ I}-{\hat{{{\Pi }}}}_{1}-{\hat{{{\Pi }}}}_{2}\) は決定的ではない結果に対応します。 最適性は、この非射影測定が、決定的でない結果の固定確率に対して最小誤差を達成することを示します。

この非射影量子測定の提案された実装は参考文献で示されています。 64は原理的に実現可能ですが、その実証には、忠実度の高い最適な波形を準備するための高度な制御と、高帯域幅と低ノイズのフィードバック測定を実現する能力が必要です（補足Iを参照）。 さらに、最適なパフォーマンスを検証するには、単一光子レベルでの絶対パワー測定が必要です。 私たちの実験的実証では、これらの厳しい要件を満たすための問題に対処し、これによりこの複雑な量子測定を高い忠実度で実験的に実証できるようになります。 図1dは、バイナリコヒーレント状態の最適かつ決定的ではない測定を実証するための実験セットアップを示しています。 入力状態と局部発振器フィールド、単一光子検出器 (SPD)、およびデジタル - アナログ コンバーター (DAC) に接続された FPGA (Altera Cyclone IV、50 MHz ベース クロック) を生成する干渉セットアップを使用します。ファイバー結合された振幅 (AM) 変調器と位相 (PM) 変調器を使用して、決定的ではない最適な測定に必要な最適な変位波形 u(t) を実装します (「方法」の「実験セットアップの詳細」、「FPGA 実装」、および「光変調器」を参照)詳細についてはセクションを参照してください)。 2 番目の 780 nm レーザーとフィードバック ループを使用して干渉計を積極的に安定させ、明確に定義された相対位相を維持します (詳細については、「方法」セクションの「FPGA 実装」を参照)。 私たちの実装では、全体的な検出効率 η = 0.72(1) (η = ηSPDηsys、ここで ηSPD = 0.82(1) は SPD 効率、ηsys = 0.88(1) はシステム透過率)、干渉可視性 ξ = 0.998(1) を達成します。ダークカウント ν = 0.03(1) / パルス。 実験は 4 kHz の繰り返し率で動作し、実験試行 (1024 タイム ビン、各 160 ns) と、約 66% のデューティ サイクルでの干渉計の安定化を交互に行います。 また、補足Iで説明されている現実的な不完全性の影響についての数値調査も実現しました。これらの調査に基づいて、検出効率の低下により、すべてのエラーと決定的でない確率についての達成可能なパフォーマンスが低下することがわかりました。 干渉可視性の低下とダーク カウントの増加は、主に、目的の PE または PI が小さい場合、つまり MESD および USD 体制に近い戦略のパフォーマンスを低下させます。

等確率のコヒーレント状態に対する最適で決定的ではない測定を実装します。 実験的なデモンストレーションでは、誤差 \({P}_{{{{\rm{E}}}}}^{\exp }(t)\) の時間発展を取得し、正しい \({P}_ {{{{\rm{C}}}}^{\exp }(t)\)、決定的ではない \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp }後処理で結果を再構成することによって (t)\) 確率を計算し、それらを期待される確率 {PE(t), PC(t), PI(t)} と比較します64。 決定的でない最後の \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp }(t=1)\) とエラー \({P}_{{{{\rm{E }}}}}^{\exp }(t=1)\) 特定の ∣α∣2 の確率は、決定的でない最適な測定値の 1 つの実現に対応します。 図 2a は、∣α∣2 = 0.2、0.4、0.6 の実験結果をそれぞれ青、オレンジ、黄色で示しています。 点は実験データ \(\{{P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp }(1),{P}_{{{{\rm{E}} }}}^{\exp }(1)\}\) であり、誤差バーは、それぞれ 5 × 104 の独立した実験の 5 つの実験実行からの 1 つの標準偏差を表します。 黒い線は、実験の不完全性を組み込んだ実験のモンテカルロ シミュレーションからの理論的期待を示しています (補足注 IV を参照)。 フィッティング手順を必要とせずに、実験の不完全性やその他の効果を含む実験を直接シミュレートすることにより、実証の期待されるパフォーマンスが得られることに注意してください。 灰色の破線は、各平均光子数の理想的な (η = 1) パフォーマンスを示しています。 y 軸と x 軸上の色付きの円と四角は、それぞれ ∣α∣2 の理想的な MESD と USD の最適な PE と PI を示します。

a ∣α∣2 = 0.2、0.4、0.6 の最適な不確定測定の実験結果。それぞれ青、オレンジ、黄色。 各点は \(\{{P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp }(1),{P}_{{{{\rm{E }}}}}^{\exp }(1)\}\) および誤差バーは、それぞれ 5 × 104 の個別の実験の 5 セットからの 1 標準偏差を表します。 実線は予想される結果を示し、灰色の破線は各 ∣α∣2 の理想的なパフォーマンスを示します。 Y 軸と X 軸上の色付きの円と四角は、それぞれ理想的な MESD と USD の最適な PE と PI を示します。 挿入図 (i): \({P}_{{{{\rm{E}}}}}^{\exp }\)、\({P}_{{{{\rm{C}}] の進化}}}^{\exp }\)、および \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{\exp }\) (∣α∣2 = 0.2 および \({ P}_{{{{\rm{I}}}}^{\exp }\)=0.31。 b 位相コヒーレント状態 \(\{\left|\pm \alpha \right\rangle \}\) に対する最適な MESD 測定である Dolinar 受信機の実験結果 (青色の点)。 灰色と赤色の実線は、それぞれ η = 1.0 と η = 0.72 の Helstrom 限界を示し、破線はホモダイン測定の対応する誤差を示します。

∣α∣2 = 0.2、0.4、および 0.6 の η = 0.72 による最適な不確定な測定の実証では、PI ⪆ 0.18 の場合、理想的な Helstrom 限界を下回る誤差に達することがわかります。 これは、最適な不確定な測定の非理想的な実装は、不確定な結果を得る代わりに、理想的な Helstrom 限界を超える可能性があることを示しています (Helstrom 限界は決定論的測定によって達成できる最小識別誤差ですが、この限界は、は、決定的でない結果を許容する一般的な量子測定の最低誤差ではありません53。そのため、最適な決定的でない測定では、PI ≠ 0 の Helstrom 境界を下回る誤差が許容され、IDP によって与えられる決定的でない結果の割合でゼロ誤差が達成されます。バウンド39,40,41)。 図2aの挿入図は、∣α∣2 = 0.2およびPIの測定が進むにつれて、PE(t) (青色)、PC(t) (オレンジ色)、およびPI(t) (黄色)が変化する例を示しています。 ≈ 0.31。 実線は実験の不完全性を含む理論的な期待値を示し、点は \({P}_{{{{\rm{E}}}}}^{\exp }(t)\)、\( {P}_{{{{\rm{C}}}}}^{\exp }(t)\)、および \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{ \exp }(t)\) 50 回のビン ステップごと。 t1 ≈ 0.57 で、測定が MESD 測定から単一状態ドメインでの最適で不確定な測定に切り替わることに注意してください。

決定的でない最適測定は MESD と USD64 を一般化し、PI = 0 に設定することで最適な MESD 測定であるドリナー受信機 35 を実証するために使用できます。前の研究 36 では、強度変調されたコヒーレント状態に対するドリナー受信機を実証しました。 0\right\rangle ,\left|\alpha \right\rangle \}\) を達成し、システム損失と検出効率を補正した後、ショット ノイズ制限を下回るパフォーマンスを達成しました。 ただし、位相エンコードされたコヒーレント状態 \(\{\left|\!\pm\! \alpha \right\rangle \}\) は、エネルギー制約下でのバイナリ コヒーレント通信に最適な変調です。 これは、状態の固定平均エネルギーに対して、このアルファベットの重複が最も小さく、したがって区別性が最も高いためです48、67、68。 この目的のために、我々は、最適な不確定な測定を使用して、位相エンコードされたバイナリコヒーレント状態のドリナー受信機を実証し、それによってコヒーレント光通信に最適な量子受信機を実証します。

図2bは、位相コヒーレント状態に対する最適なMESD測定であるドリナー受信機の実験結果（青色の点）と予想誤差確率（黒色）を、ヘルストロム（実線）およびホモダイン限界（破線）とともに示しています。 全体の効率 (η = 0.72) に補正された Helstrom 限界とホモダイン限界が参考として含まれています。 Dolinar 受信機のデモンストレーションが修正された Helstrom 限界に近づき、理論的予測 (黒の実線) と優れた一致を示していることがわかります。 全体効率 η = 0.72 の BPSK 状態に対する最適な MESD 測定の実装では、∣α∣2 = 0.2 に対して PE = 0.18 が達成されます。これは、BPSK67 の最適なガウス測定に対応する理想的なホモダイン制限を下回っています。 この誤り率は、ref のフィードバックなしで次善の受信機によって達成される誤り率と同様です。 高効率 (η = 0.99) 超電導検出器を使用した図 27 では、システム全体の効率 η = 0.91 が得られます。 したがって、複雑な適応測定に基づいてここで実証された戦略は、同じ損失と現実的な実験ノイズと不完全性の下で、次善の戦略よりも全体的に高い感度を提供できる可能性があると結論付けます。 原理的には、決定的でない最適な測定によって、PE = 0 の最適な USD 測定を構築することもできます。ただし、ダーク カウントや理想的でない干渉可視性などの実験上の不完全性により、受信機は PE = 0 を達成できません (図 2 を参照)。 ）。 それにもかかわらず、上記のフレームワークにより、この最適な測定を実装するための最適な波形を見つけることができます。

私たちは、バイナリ コヒーレント状態の最適な不確定な測定を活用して、高次元エンコーディングの不確定な状態の識別を可能にする方法を研究します。 我々は、バイナリ最適不確定測定を曖昧でない状態除去と組み合わせて利用するハイブリッド測定を提案します。これにより、三値位相偏移変調 (TPSK) 状態の非射影不確定測定を実現できます。 \(\{\left|\alpha \right\ rangle ,\left|\alpha {e}^{i2\pi /3}\right\rangle ,\left|\alpha {e}^{i4\pi /3}\right\rangle \}\) とできます。より高い次元へと拡張されます。 この測定は、まず仮説検定によって 2 つの考えられる入力状態を除くすべてを除去することを目的としており、その後、残りのバイナリ状態で最適な不確定な測定を利用します。 図3aは、提案された高次元不確定測定によって実現される、単一光子検出を条件とした測定操作を示しています。 受信機は、入力状態全体の一部 f/3 の状態 \(\left|\alpha \right\rangle\) に対する仮説検定 (図 3a ～ i) に基づく除去測定を実現します。 この状態除去測定は、真空状態 \(\left|0\right\rangle\) への \(\left|\alpha \right\rangle\) の変位操作と単一光子の検出に基づいています。フォトンは、可能な入力状態として \(\left|\alpha \right\rangle\) を明確に排除します。 最初の段階 (ステージ 1) で光子が検出された場合、受信機は最適なバイナリ不確定測定 (図 3a ～ i) を実行して \(\left|\alpha {e}^{i2 \pi /3}\right\rangle\) と \(\left|\alpha {e}^{i4\pi /3}\right\rangle\) を入力エネルギーの残りの部分 1 − f/3 を使用して計算します。 最初の段階で光子が検出されなかった場合、受信機は分数を使用して入力状態 \(\left|\alpha {e}^{i2\pi /3}\right\rangle\) の状態除去測定を実現します。総入力パワーの f/3 (図 3a-ii)。 ここで、光子が第 2 段階 (ステージ 2) で検出された場合、決定的ではない最適な測定では、入力パワーの分数 1 − 2f/3 を使用して、残りの 2 つの可能な入力状態が識別されます。ここで、係数 2 は第 1 段階からのものです。 。 第 2 段階で光子が検出されない場合、受信機は第 3 段階で状態 \(\left|\alpha {e}^{i4\pi /3}\right\rangle\) をテストします。これも分数 f を使用します。総入力状態の /3 (図 3a-iii)。 光子が検出された場合、決定的ではない最適な測定では、入力パワーの 1 − 3f/3 の割合を使用して残りの 2 つの状態を識別します。 明確な状態排除のための 3 番目の仮説テストで光子が検出されない場合、測定結果は決定的ではないと定義します。

a 提案されている TPSK 状態の不確定な測定では、逐次的な明確な状態の除去と、それに続く最適なバイナリの不確定な測定が使用されます (詳細については本文を参照)。 b ∣α∣2 = 0.2 (青)、0.​​4 (オレンジ)、および 0.6 (黄) の不確定確率 PI の関数としての条件付きエラー確率 PE/(1 − PI)。 パラメータ f = 0.66 (実線) および f = 0.90 (破線) を使用した提案された測定値を、理想的なヘテロダイン検波 (点線) のパフォーマンスと比較します。 詳細については本文を参照してください。

図3bは、平均光子数∣α∣2 = 0.2、0.4、および0.6のバイナリ状態の最適な不確定な測定に基づいた、提案されたTPSK状態の不確定な測定のシミュレーション結果を示しています。 x 軸は決定的でない確率に対応し、y 軸は条件付きエラー確率 PE/(1 − PI)、つまり決定的な結果が得られたと仮定した場合のエラー確率に対応します。 実線と破線は、それぞれ f = 0.66 と f = 0.90 の 3 つのコヒーレント状態の提案された決定的ではない測定値を示しています。 点線は結果 \({P}_{{{{\rm{E}}}}}^{{{{\rm{Het}}}}}/(1-{P}_{{{ {\rm{I}}}}}^{{{{\rm{Het}}}}})\) は、理想的なヘテロダイン検波を使用します。この場合、最大の誤差確率を持つ測定結果は、希望する決定的でない確率が得られるまで決定的でないものとして指定されます。参考文献のように達成されます。 45. 3 つの状態に対する USD と MESD の最適制限は、それぞれ x 軸 (PE = 0) と y 軸 (PI = 0) の四角と円で表されます49,69。

この戦略によって達成される全体的な PI には、2 つの寄与が含まれます \({P}_{{{{\rm{I}}}}}={P}_{{{{\rm{I}}}}}^{( 1)}+{P}_{{{{\rm{I}}}}^{(2)}\)、ここで \({P}_{{{{\rm{I}}}}} ^{(1)}\) は状態除去ステージから得られ、\({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{(2)}\) はバイナリ最適不確定測定から得られます。 状態排除段階では、3 つの仮説テストすべてで真空が検出されると、各状態の可能性が同等であるため、決定的な結果は得られません。 これにより、f と ∣α∣ の値に応じて、達成可能な決定的でない確率 PI の下限 (\({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{(1)}\)) が生成されます。 2. バイナリ最適の不確定測定段階では、提案された測定により、「ターゲット」不確定確率 (\({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{(2)}\)) が定義されます。戦略の望ましい全体的な PI を達成するために、任意の ∣α∣2 に設定します。 明確な状態除去段階をパラメータ化するパラメータ f の両方の値を使用した提案された測定は、ヘテロダイン検波よりも優れた性能を発揮できることがわかります。 さらに、f = 0.66 の値が小さいほど、誤差確率は小さくなりますが、これにより、∣α∣2 = 0.2、0.4、およびそれぞれ0.6。 一方、f = 0.90 (破線) の値を大きくすると、決定的でない確率は小さくなりますが、f = 0.66 (実線) と比較してエラーの確率が大きくなります。 このトレードオフは、f の値が大きいほど、状態除去ステージ (すべてのステージで真空を検出) 中の決定的でない結果からの PI への寄与が小さくなるという事実によるものです。 ただし、f の値が大きくなると、バイナリの最適で不確定な測定に対する状態の総入力エネルギーの割合が小さくなり、誤差の確率が大きくなります。 したがって、エネルギー分率 f の最適な選択は、この提案された測定の特定の用途によって決まります。 たとえば、エラー検出、訂正、および消去70を伴う通信など、特定の小さな目標エラーしきい値 PE を達成するために、より決定的でない結果 PI を許容する場合は、f の小さな値を選択する必要があります。

3 つの状態について提案された決定的ではない測定は、より高い次元に拡張できます。 この技術を使用すると、M 個の入力コヒーレント状態の不確定な測定は、明確な状態を除去するための M − 1 仮説テスト ステージの実装 45,49 と、それに続くバイナリ最適の不確定測定によって実現できます。 決定的でないバイナリの最適測定が \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{(2)} \,<\, 1\) に対して常に PE = 0 を達成できるとすると、次のようになります。常に、この戦略がヘテロダイン検出よりも優れたエラー確率の範囲を示します (注 \({P}_{{{{\rm{E}}}}}^{{{{\rm{Het}}}}}= 0\) \({P}_{{{{\rm{I}}}}}^{{{\rm{Het}}}}=1\)) の場合のみ、つまり、常にエラー領域 \({P}_{{{{\rm{I}}}}} \,<\, {P}_{{{{\rm{I}}}}}^{{{{\ rm{ヘット}}}}}\)。 理想的には、このパフォーマンスは可能な最小の PI 値で達成されますが、これは可能な状態の数に依存します (補足ノート III を参照)。

提案された測定では、複数の状態の MESD 用の Bondurant 受信機 71 と、フィードバックと状態削除 48 に基づく USD 受信機と同様の手法を状態削除段階で使用していることに注目します。 ただし、ここで提案されている戦略は、MESD と USD の測定パラダイム間での移行を可能にするために 2 つの状態の最適な不確定な測定を利用して、複数のコヒーレント状態の最適化された不確定な測定を実現します。 より多くの状態に対する戦略のパフォーマンスは、状態除去段階で決定的でない確率が増加するため低下しますが、この戦略は、より高次元で最適化された決定的でない戦略を設計するための基礎として機能すると期待されます。 決定的ではない測定戦略の考えられる例としては、ホモダインなどのガウス測定と光子計数を組み合わせたハイブリッド測定スキームを使用することが考えられます72,73。 これらのスキームでは、ガウス測定により状態のサブセットを除去でき、状態のより小さいサブセットでの状態の除去に光子計数が使用され、続いてバイナリ最適の不確定測定が行われます。

決定的ではない最適な測定は、MESD や USD などの状態識別の標準パラダイムを包含する一般化された量子測定です。 これらの非射影測定により、さまざまな状態識別タスクが可能になり、古典情報処理および量子情報処理のためのより強力なツールが提供されます 17,63。 光通信では、決定的でない測定結果を消去チャネルとして扱うことができ、消去チャネルに適した通信コードを利用することで、最適な決定的でない測定結果を利用して情報転送量を増やすことができます70。 これらの最適な不確定な測定により、コヒーレント状態の不確定な測定を使用してリモート量子メモリをエンタングルするハイブリッド中継器方式も可能になります 74,75。 量子測定理論の最近の進歩により、2値コヒーレント状態のこのような複雑な量子測定は、2モード測定における単一光子の検出とローカル操作および古典的通信を使用して実現できることが示されました64。 この測定戦略は、入力状態のエネルギーを 2 つの時間モードに分割します。 最初のモードでは一定の誤差を伴う入力状態の MESD 測定を実行し、2 番目のモードでは単一状態ドメインで最適な不確定な測定を実行して、測定結果が決定的かどうかを判断します。 この測定の最適性により、特定の不確定な確率に対して誤差を最小限に抑えることが可能になります。 さらに、そのような一般化された量子測定は、コヒーレント状態に対するドリナーのような最適な受信機を使用して実現できます。

ここでは、64 年に提案された決定的ではない最適な測定を実験的に示します。 私たちのデモでは、コヒーレント変位操作、単一光子検出、および高速フィードバックを使用して、これらの一般的な非射影量子測定を実際のシステムで高い忠実度で実装します。 さらに、この測定を使用して、位相エンコードされたバイナリ コヒーレント状態の最適な MESD、つまり平均電力制約下での光通信の最適な変調を実証します。 決定的ではない最適な測定の原理実証は中程度の測定速度で実現されましたが、将来的には、高帯域幅の統合ナノワイヤ検出器の進歩と併せて、高帯域幅の光変調と処理を備えた統合フォトニクスに基づいた小さな設置面積内での実装76により、実証が可能になるでしょう。 GHz帯域幅で。 これらの結果は、ドリナーのような受信機を使用して、現在の技術を使用して 2 次元ヒルベルト空間内でさまざまな測定を実行できることを示しています。 さらに、バイナリの最適な不確定な測定を利用して、複数の状態の連続的な一義的な状態の削除を使用するハイブリッド測定を使用して、高次元で不確定な測定を実行する方法を示します。 私たちの研究は、単一光子の検出、コヒーレント変位操作、フィードバックに基づく測定の基本的かつ実用的な限界の理解に貢献し、量子測定理論の理解をさらに深めることができます59。 さらに、これらの測定技術により、線形光学と単一光子検出を使用した 2 次元空間でのより一般的な非投影測定の実装が可能になる可能性があります。

決定的ではない最適な測定値 \(\{{\hat{{{\Pi }}}}_{1},{\hat{{{\Pi }}}}_{2},{\hat{{{\Pi }}}}_{?}\}\) のバイナリ コヒーレント状態は、一般化されたドリナー受信機で実現できます64。 この修正された戦略 64 では、一般化された受信機は、測定時間 0 ≤ t ≤ 1 中に 2 つの時間モードで最適な測定を実行します。最初の時間モード 0 ≤ t ≤ t1 では、最適な不確定な受信機は最適な MESD 測定を実行して、以下を区別します。 (\{\left|\pm \alpha \right\rangle \}\) 最適な変位波形を使用すると誤差が最小限に抑えられます35、36、64、66:

ここで \({K}^{2}=| \left\langle -\alpha | \alpha \right\rangle {| }^{2}={e}^{-4| \alpha {| }^{2 }}\)、p は最も可能性の高い状態の事前確率、N1(t) は時間 t ≤ t1 までの最初のモードで検出された光子の総数です (N1(0) = 0)。最初の時間モードでは、ドリナー受信機と同様に、光子が検出されるたびに LO 変位場の位相 (u1(t) の符号) が 0 と π の間で切り替わります77。 最初の時間モードでの測定中、N1(t) が偶数で \(\left|-\alpha \ の場合、時刻 t における入力状態の暫定仮説は \(\left|\alpha \right\rangle\) になります。 right\rangle\) N1(t) が奇数の場合。 最初の時間モード後の 2 つの入力状態の暫定確率は \(\{{P}_{{{{\rm{C}}}}}^{(1)},1-{P}_{{ {{\rm{C}}}}}^{(1)}\}\):

これは、コヒーレント状態 \(\{\left|\pm \sqrt{{t}_{1}}\alpha \right\rangle \}\) の Helstrom 境界に対応します。 式(1)の最適波形u1(t)は次のようになります。 (2) および t における正しい検出の確率 PC(t) の発展は、ベイジアン更新 64、78、79 または最適制御 66 を使用して取得できます。

2 番目の時間モード (t1 < t ≤ 1) では、受信機はいわゆる単一状態ドメインで最適な不確定な測定を実行します。ここで、PI、\({P}_{{{{\rm{C}}} }}^{(1)}\) および (1 − t1)∣α∣2 は \({\hat{{{\Pi }}}}_{2}=0\) となるようです58,64。 一般性を失うことなく、最も可能性の高い状態は \(\left|\alpha \right\rangle\) であり、ゼロ以外の POVM 要素は \({\hat{{{\Pi }}}}_{1} \) と \({\hat{{{\Pi }}}}_{?}\)。 単一状態領域におけるこの最適で決定的でない射影測定は、最適な変位波形を備えたドリナーのような受信機によって実現できます64。

ここで、式の p (2) は、PI、p、および ∣α∣2 64 に依存する量 v に置き換えられます。N2(t) は、N2(t1) = 0 の 2 番目のモードで検出される光子の数であり、N0 は、 t1 における LO の位相: v > 0.5 の場合は N0 = 0、それ以外の場合は N0 = 1。

したがって、最適な決定的でない受信機の合計変位波形は、式 (1) の u1(t) の組み合わせになります。 式 (2) と式 (1) の u2(t) (4) 式 (4) の合計最適変位が得られます。 (1)本文中。 したがって、この戦略は、最初のモード 0 ≤ t ≤ t1 の間に標準のドリナー受信機を実装し、その後、t = t1 での入力状態が事前確率 {v, 1 − v} を持つと仮定して、t1 < t ≤ 1 の間にドリナーのような受信機を実装します64 。

私たちの実験的デモンストレーションでは、図1dに示すように、光パルスはヘリウムネオンレーザーとパルス音響光学変調器（AOM）から生成され、信号アーム（上部）とLOアーム（下部）に分割されます。 入力ステートはアッテネータ (Att.) と位相変調器 (PM) で用意されています。 LO フィールドは、マルチプレクサ (MUX) を備えた PM、およびデジタル - アナログ コンバータ (DAC) を備えた振幅変調器 (AM) によって準備されます。 入力状態と LO フィールドは 99/1 ビーム スプリッター (BS) で干渉し、単一光子検出器を使用した光子検出イベントに条件付けされた最適な変位波形 \(\hat{D}(u(t))\) を実装します。 (SPD)。 フィールド プログラマブル ゲート アレイ (FPGA) は、最適な波形 ∣u(t)∣ の大きさを式 (1) に保存します。 (1) メモリ内で、N1(t)、N2(t)、および N0 を条件とした LO の振幅と位相を準備し、最適で不確定な測定のための戦略を実装します。 時間 t を 160 ns の 1024 個の時間ビンに離散化し、そこで光子を検出して連続測定に近似します。 私たちの実装では、約 6 MHz のフィードバック帯域幅を達成していますが、これは APD 出力遅延、コントローラー、スイッチ、FPGA の電子帯域幅によって制限され、約 50 ns と干渉セットアップでの光学遅延 (100 ns) を考慮しています。 FPGA は、これらの時間ビン中の光子検出を処理して保存し、検出履歴をコンピューターに送信します。 後処理で測定確率を再構築します。 決定的ではない最適な測定には、変位場の平均光子数と入力状態の比、R = ∣u(t)∣2/∣α∣2 の非常に大きな値が必要です。 ただし、実験的には、確実に実装できる最大比率 R が存在します。 私たちのデモンストレーションでは、この比の最大値を R = 50 に設定しましたが、これはセットアップの LO アームにおける AM の消光比 (≈20 dB) によって制限されます。 R の有限値の影響とその他の実験上の不完全性については、補足ノート I および II で説明します。

実験の制御には、Altera Cyclone IV FPGA をベースにし、ベース クロック レートが 50 MHz の Opal Kelly ZEM4310 を使用します。 識別測定値をそれぞれ 160 ns の 1024 個の時間ビンに離散化し、実験の単一ショットが 163.8 μs の長さのパルスに対応するようにします。 1024 の各時間ビンの LO 波形の大きさは、∣α∣2 および決定的でない確率 PI ごとに事前に計算され、FPGA 内のルックアップ テーブルに 8 ビット値として保存されます。 LO の位相は、光子が検出されるたびに 0 と π の間で反転します。 式(1)で与えられる最適なLO波形を準備するためのこの方法。 (1) により、デモンストレーションで目的の最適かつ決定的ではない測定を効率的に実装できるようになります。

決定的ではない最適な戦略には、LO 位相の正確かつ高速な制御が必要です。 位相変調器に印加する電圧を、位相 0 と位相 π に対応する 2 つの値の間で変更することにより、LO の位相を制御します。 LO の位相が変化するたびに、偶発的な光子の検出を避けるために 160 ns の間 APD の出力を無視します。 この「ブランキング時間」は、変調電圧を変更してから APD で対応する光子を観察するまでの電気的遅延時間と光学的遅延時間を組み合わせた時間が約 150 ns であることに注目して得られます。 これには、実効的なアフターパルス確率をゼロに近づけるという利点もあります。 通常、アフターパルスを検出する確率は、APD のデッドタイム (実装では約 40 ns) の直後に最大になりますが、この確率は時間とともに急速に減衰します。 ブランキングなしの場合、APD の累積アフターパルス確率は PAP ≈ 0.015 であり、100 ns のブランキングでは PAP < 0.001 であることに注意してください。

信号フィールドと LO フィールドの間の明確に定義された相対位相を維持するために、干渉計を積極的に安定化させます。 実験を 4 kHz の繰り返し率で実行し、実験デューティ サイクルが ≈66% (実験時間 ≈165 μs、ロック時間 ≈91 μs) となるようにします。 実験が行われていない実験デューティ サイクルの一部の間、干渉計セットアップの 2 つのアーム間の相対位相は、信号アームのミラーの背面にある PID コントローラーとピエゾを使用したフィードバック ループによってアクティブに安定化されました。 、図2を参照。780 nmの狭帯域レーザーを使用して干渉計の安定化のためのエラー信号を取得します。このレーザーは、飽和吸収分光法を使用してルビジウムの原子線まで周波数が積極的に安定化されます。 このレーザーからの光は、633 nm の光と比較して干渉計を通って反対方向に伝播し、差動検出器で検出されて位相変動が測定されます。 識別測定が始まる少し前に、フィードバック ループが一時停止され、ピエゾへの電圧が現在の値に固定されます。 安定化フィードバック ループは、識別測定が完了した後に再開されます。

このセットアップでは、ファイバー結合されたニオブ酸リチウム、振幅および位相電気光学変調器 (AM および PM) を使用し、帯域幅が 3 dB で、帯域幅が約 1 GHz です。 位相変調器 (PM) のπ電圧は Vπ = 1.5 V、振幅変調器 (AM) のπ電圧は Vπ = 750 mV で、消光比は約 20 dB です。 LO の振幅と位相、および信号フィールドの位相は、3 つの 8 ビット デジタル/アナログ コンバータ (DAC)、電圧制御ゲイン回路、および加算アンプを使用して調整されます。

この研究の結果を裏付けるデータは、要求に応じて著者から入手できます。

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この研究は、米国科学財団 (NSF) (PHY-1653670 および PHY-2210447) によって支援されました。

量子情報制御センター、物理天文学部、ニューメキシコ大学、アルバカーキ、ニューメキシコ州、87131、米国

MT ディマリオ & FE カーフ

共同量子研究所、国立標準技術研究所およびメリーランド大学、カレッジパーク、メリーランド州、20742、米国

MTディマリオ

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FEBが監修しました。 MTD は実験実装を設計し、測定を実行しました。 著者全員が理論的および実験的結果の分析に貢献し、決定的ではない測定をより高い次元に一般化するというアイデアを考案し、原稿の執筆に貢献しました。

FEベセラ対応。

著者らは競合する利害関係を宣言していません。

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転載と許可

モンタナ州ディマリオ、フェデラル州ベセラ フォトンカウンティングによるバイナリコヒーレント状態の最適な非射影測定のデモンストレーション。 npj Quantum Inf 8、84 (2022)。 https://doi.org/10.1038/s41534-022-00595-3

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受信日: 2021 年 10 月 8 日

受理日: 2022 年 6 月 24 日

公開日: 2022 年 7 月 18 日

DOI: https://doi.org/10.1038/s41534-022-00595-3

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